Question

在△ABC中角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且满足acosB=

2

bsinA，则

3

sinC-2cosA的最大值为

 

．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数的最值

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形

分析：运用正弦定理，结合同角公式，求出cosB，sinB，再由诱导公式和两角和的正弦公式，化简所求式子，再由两角差的正弦公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值．

解答： 解：由正弦定理，可得足acosB=

2

bsinA，
即为sinAcosB=

2

sinBsinA，
即cosB=

2

sinB，
由于cos²B+sin²B=1，
解得，sinB=

3

3

，cosB=

6

3

，
则

3

sinC-2cosA=

3

sin（A+B）-2cosA=

3

（sinAcosB+cosAsinB）-2cosA
=

3

（

6

3

sinA+

3

3

cosA）-2cosA=

2

sinA-cosA
=

3

（

6

3

sinA-

3

3

cosA）=

3

sin（A-α），（其中cosα=

6

3

，sinα=

3

3

）
则当sin（A-α）=1，即有A=

π

2

+α，取得最大值，且为

3

．
故答案为：

3

．

点评：本题考查正弦定理的运用，考查三角函数的化简和求最值，考查两角和差的正弦公式，考查正弦函数的值域，属于中档题．