Question

设集合A为函数f（x）=ln（-x²-2x+8）的定义域，集合B为不等式（ax-

1

a

）（x+4）≤0的解集．
（Ⅰ） 写出f（x）的单调区间；
（Ⅱ） 若B⊆∁_RA，求a的取值范围．

Answer 1

考点：集合的包含关系判断及应用

专题：函数的性质及应用,集合

分析：（Ⅰ）先求出集合A=（-4，2），二次函数-x²-2x+8在（-4，-1）单调递减，在[-1，2）单调递增，根据复合函数的单调性即可写出f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求出∁_RA，讨论a＞0，a＜0写出集合B，根据B⊆∁_RA，即可写出限制a的不等式，解不等式即得a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由-x²-2x+8＞0，解得A=（-4，2）；
根据复合函数的单调性知，f（x）的单调递增区间为（-4，-1），单调递减区间[-1，2）；
（Ⅱ）因为∁_RA=（-∞，-4]∪[2，+∞）．                   
由（ax-

1

a

）（x+4）≤0，得a(x-

1

a2

)(x+4)≤0；
若a＞0，B=[-4，

1

a2

]，不满足B⊆∁_RA；
若a＜0，B=（-∞，-4]∪[

1

a2

，+∞)，要使B⊆∁_RA，则：

1

a2

≥2，解得-

2

2

≤a＜0，或0＜a≤

2

2

；
又a＜0，∴-

2

2

≤a＜0；
综上得a的取值范围是[-

2

2

，0)．

点评：考查复合函数的单调性及取得单调区间的情况，子集、补集的概念．