Question

已知半圆C的参数方程为

x=cosa y=1+sina

，a为参数，a∈[-

π

2

，

π

2

]．
（Ⅰ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求半圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设T是半圆C上一点，且OT=

3

，试写出T点的极坐标．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,简单曲线的极坐标方程

专题：计算题,直线与圆,坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）运用平方法，可将半圆的参数方程化为普通方程，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，即可得到极坐标方程；
（Ⅱ）结合半圆的直径所对的圆周角为直角，再由特殊角的三角函数值，即可求得T点的极坐标．

解答： 解：（Ⅰ）由半圆C的参数方程为

x=cosa y=1+sina

，a为参数，a∈[-

π

2

，

π

2

]，
则圆的普通方程为x²+（y-1）²=1（0≤x≤1），
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，
可得半圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，

π

2

]；
（Ⅱ）由题意可得半圆C的直径为2，设半圆的直径为OA，
则sin∠TAO=

3

2

，
由于∠TAO∈[0，

π

2

]，则∠TAO=

π

3

，
由于∠TAO=∠TOX，
所以∠TOX=

π

3

，
T点的极坐标为（

3

，

π

3

）．

点评：本题考查参数方程和普通方程以及极坐标方程的互化，考查圆的方程的运用，考查运算能力，属于基础题．