Question

过点M（-1，0）的直线l₁与抛物线y²=4x交于P₁、P₂两点，记线段P₁P₂的中点为P，过点P和这个抛物线的焦点F的直线为l₂，l₁的斜率为k，则直线l₂的斜率与直线l₁的斜率之比可表示为k的函数f（k）=

 

．

Answer 1

考点：抛物线的应用,抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先设直线L₁的方程是y=k（x+1），然后与抛物线方程联立消去y，得到两根之和、两根之积，将直线L₁与该抛物线有两个交点转化为△=（2k²-4）²-4k²•k²＞0且k≠0，进而可得到k的范围，设点P的坐标为（a，b），可以得到直线L₁、直线L₂的斜率，记f（k）=

a+1

a-1

，再由a=

2-k2

k2

，由此得到f（k）=

1

1-k2

，k∈(-1，0)∪(0，1)．

解答： 解：由已知条件可知，直线L₁的方程是y=k（x+1）①
把①代入抛物线方程y²=4x，
整理后得到k²x²+（2k²-4）x+k²=0②
因此，直线L₁与该抛物线有两个交点的充要条件是：（2k²-4）²-4k²•k²＞0③
及k≠0．④
解出③与④得到k∈（-1，0）∪（0，1）
现设点P的坐标为（a，b），
则直线L₁的斜率k₁=

b

a+1

，而直线L₂的斜率k₂=

b

a-1

，
∴f（k）=

a+1

a-1

今记L₁与抛物线的两个交点P₁与P₂的横坐标分别为x₁和x₂，
由韦达定理及②得x₁+x₂=

4-2k2

k2

（k∈（-1，0）∪（0，1））
∴a=

2-k2

k2

，由此得到f（k）=

1

1-k2

，k∈(-1，0)∪(0，1)，
故答案为：f（x）=

1

1-k2

，k∈(-1，0)∪(0，1)．

点评：本题主要考查直线与抛物线的综合问题．直线与圆锥曲线的综合题是高考的一个重要考点，要着重复习．