Question

已知向量

a

=(-3，0)，

b

=(2，0)
（1）若向量

c

=(0，1)，求向量

a

-

c

与

b

-

c

的夹角；
（2）若向量

c

满足|

c

|=1，求向量

a

-

c

与

b

-

c

的夹角最小值的余弦值．

Answer 1

考点：数量积表示两个向量的夹角

专题：平面向量及应用

分析：（1）根据向量数量积与向量夹角的关系，即可得到结论．
（2）利用数形结合，利用向量的基本运算，即可得到结论．

解答： 解：（1）由题意可得向量

a

-

c

=（-3，-1），

b

-

c

=（2，-1），
设向量

a

-

c

与

b

-

c

的夹角为θ，则由cosθ=

( a - c )•( b - c )

| a - c |•| b - c |

=

-6+1

10 • 5

=-

2

2

，
∴向量

a

-

c

与

b

-

c

的夹角为

3π

4

．
（2）∵向量

c

满足|

c

|=1，
∴向量

c

的轨迹是半径为1的圆，
则向量

a

-

c

=

AC

，

b

-

c

=

AB

，则由图象可知当A位于y轴（0，1），
此时向量

a

-

c

与

b

-

c

的夹角最小，此时

c

=(0，1)，
则

a

-

c

=（-3，-1），

b

-

c

=（2，-1），
则cosθ=

( a - c )•( b - c )

| a - c |•| b - c |

=

-6+1

10 • 5

=-

2

2

，
即向量

a

-

c

与

b

-

c

的夹角最小值的余弦值cosθ=-

2

2

．

点评：本题主要考查平面向量的应用，利用数量积的坐标公式，利用数形结合是解决本题的关键，有一定的难度．