Question

7．已知函数f（x）=-x³+ax²+bx+c（a＞0）在x=0处取得极小值．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[1，2]上单调递增，求a的取值范围；
（Ⅲ）当a=2时，函数y=f（x）有三个零点，求c的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的方程，得到f′（0）=0，求出b的值即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，根据集合的包含关系求出a的范围即可；
（Ⅲ）求出函数的单调区间，求出函数的极大值和极小值，根据函数的零点的个数得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=-3x²+2ax+b，
若f（x）在x=0处取得极小值，
则f′（0）=0，解得：b=0，
经检验b=0符合题意；
（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）=-x³+ax²+c，
f′（x）=-3x²+2ax=-x（3x-2a），
令f′（x）≥0，解得：x∈[0，$\frac{2a}{3}$]，
若函数f（x）在区间[1，2]上单调递增，
则[1，2]⊆[0，$\frac{2a}{3}$]，故$\frac{2a}{3}$≥2，解得：a≥3；
（Ⅲ）a=2时，f（x）=-x³+2x²+c，
f（x）在（-∞，0）递减，在（0，$\frac{4}{3}$）递增，在（$\frac{4}{3}$，+∞）递减，
故f（x）_极小值=f（0）=c，f（x）_极大值=f（$\frac{4}{3}$）=$\frac{32}{27}$+c，
若函数y=f（x）有三个零点，
则$\left\{\begin{array}{l}{c＜0}\\{\frac{32}{27}+c＞0}\end{array}\right.$，解得：-$\frac{32}{27}$＜c＜0，
即c∈（-$\frac{32}{27}$，0）．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．