Question

5．已知两点A（-1，2），B（m，3），求：
（1）直线AB的斜率k；
（2）求直线AB的方程；
（3）已知实数m∈[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$-1，$\sqrt{3}$-1]，求直线AB的倾斜角α的范围．

Answer 1

分析 （1）根据斜率公式计算即可，
（2）当m=-1时，直线的斜率不存在，写出直线的方程；当m≠-1时，由两点式求直线的方程．
（3）已知实数m∈[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$-1，$\sqrt{3}$-1]，利用不等式的性质求出斜率α的范围，再利用正切函数的单调性求出倾斜角α的范围．

解答 解：（1）当m=-1时，直线AB的斜率不存在；
当m≠-1时，k=$\frac{1}{m+1}$．
（2）当m=-1时，AB的方程为x=-1，
当m≠-1时，AB的方程为y-2=$\frac{1}{m+1}$（x+1）．
（3）①当m=-1时，α=$\frac{π}{2}$；
②当m≠-1时，∵k=$\frac{1}{m+1}$∈（-∞，-$\sqrt{3}$]∪[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞），
∴α∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）∪（$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]．
综合①②，知直线AB的倾斜角α∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]．

点评 本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，以及用两点式求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想．