Question

16．设数列{a_n}满足${a_1}=\frac{3}{8}$，且对任意的n∈N^*，满足${a_{n+2}}-{a_n}≤{3^n}，{a_{n+4}}-{a_n}≥10×{3^n}$，则a₂₀₁₇=$\frac{{{3^{2017}}}}{8}$．

Answer 1

分析 对任意的n∈N^*，满足${a_{n+2}}-{a_n}≤{3^n}，{a_{n+4}}-{a_n}≥10×{3^n}$，可得10×3ⁿ≤（a_n+4-a_n+2）+（a_n+2-a_n）≤3ⁿ⁺²+3ⁿ=10×3ⁿ．a_n+4-a_n=10×3ⁿ．利用a₂₀₁₇=（a₂₀₁₇-a₂₀₁₃）+（a₂₀₁₃-a₂₀₀₉）+…+（a₅-a₁）+a₁与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：∵对任意的n∈N^*，满足${a_{n+2}}-{a_n}≤{3^n}，{a_{n+4}}-{a_n}≥10×{3^n}$，
∴10×3ⁿ≤（a_n+4-a_n+2）+（a_n+2-a_n）≤3ⁿ⁺²+3ⁿ=10×3ⁿ．
∴a_n+4-a_n=10×3ⁿ．
∴a₂₀₁₇=（a₂₀₁₇-a₂₀₁₃）+（a₂₀₁₃-a₂₀₀₉）+…+（a₅-a₁）+a₁
=10×（3²⁰¹³+3²⁰⁰⁹+…+3）+$\frac{3}{8}$
=10×$\frac{3×（8{1}^{504}-1）}{81-1}$+$\frac{3}{8}$=$\frac{{3}^{2017}}{8}$．
故答案为：$\frac{{{3^{2017}}}}{8}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、累加求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．