Question

【题目】如图所示的立体图形中，，．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若，，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）要证，只需证平面，要证平面，只需证明垂直于平面两条相交直线即可，取的中点，连接，，由题意可得，

再写出证明的过程即可

（Ⅱ）由题目中的垂直关系建立以为原点，直线，，分别为，，轴

建立空间直角坐标系，写出需要的点的坐标，再求得平面的一个法向量，易知是平面的一个法向量，求出两法向量的夹角的余弦值，由于因为二面角为锐角，故二面角的余弦值为．

试题解析：（Ⅰ）证明：在图2中取的中点，

连接，，

因为，所以，

又因为，

所以，

因为，所以平面，

而平面，所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

因为，，

所以，

因为，所以，

所以为等腰直角三角形，且，，

所以，

以为原点，直线，，分别为，，轴

建立空间直角坐标系，则，，，，

所以，，可求得平面的一个法向量为，

易知是平面的一个法向量，

所以，

因为二面角为锐角，故二面角的余弦值为．