Question

如图所示，在矩形ABCD中，AB=3

5

，AD=6，BD是对角线，过A作AE⊥BD，垂足为O，交CD于E，以AE为折痕将△ADE向上折起，使点D到点P的位置．
（1）若平面PAE与平面ABCE所形成的二面角P-AE-B的大小为60°，求四棱锥P-ABCE的体积；
（2）若PB=

41

，求二面角P-AB-E的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得DO=4，BO=5，DE=

12 5

5

，CE=

3 5

5

，S_梯形ABCE=

3 5 + 3 5 5

2

×6=

54 5

5

，过P作PF⊥OB，交OB于F，则PF=2

3

，由此能求出四棱锥P-ABCE的体积．
（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-AB-E的余弦值．

解答： 解：（1）∵矩形ABCD中，AB=3

5

，AD=6，BD是对角线，∴BD=9
∵AE⊥BD，∴Rt△AOD∽Rt△BAD
∴

DO

AD

=

AD

BD

，∴DO=4，∴BO=5，
∵△DOE∽△BOA，∴

DE

AB

=

DO

BO

，解得DE=

12 5

5

，∴CE=

3 5

5

，
∴S_梯形ABCE=

3 5 + 3 5 5

2

×6=

54 5

5

，
∵AE⊥BD，
平面PAE与平面ABCE所形成的二面角P-AE-B的大小为60°，
∴△POB中，∠PBO=60°，PO=4，BO=5，
过P作PF⊥OB，交OB于F，则PF=2

3

，
∵PO⊥AE，BO⊥AE，∴AE⊥平面POB，∴AE⊥PF，∴PF⊥平面ABCE，
∴四棱锥P-ABCE的体积：
V=

1

3

×S梯形ABCE×PF=

1

3

×

54 5

5

×2

3

=

36 15

5

．
（2）∵在Rt△POB中，PB=

41

，PO=4，B0=5，∴PO²+BO²=PB²，
∴PO⊥OB，∵PO⊥AE，AE∩OB=O，∴PO⊥平面ABCE，
以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（2

5

，0，0），B（0，5，0），P（0，0，4），E（-

8 5

5

，0，0），

PA

=(2

5

，0，-4)，

PB

=(0，5，-4)，
设平面PAB的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • PA =2 5 x-4z=0 n • PB =5y-4z=0

，取x=2，得

n

=（2，

4 5

5

，

5

），
又平面ABE的法向量

m

=（0，0，1），
设二面角P-AB-E的平面角为θ，
cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

5

4+ 16 5 +5

|=

5 61

61

．
∴二面角P-AB-E的余弦值为

5 61

61

．

点评：本题考查四棱锥的体积的求法，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．