Question

经过点M（2，1）作直线l，交椭圆

x2

16

+

y2

4

=1于A，B两点，如果点M恰好为线段AB的中点，求直线l的方程．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆方程，作差运用平方差公式，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，求出斜率，运用点斜式方程，求出直线方程，再检验与椭圆方程，消去x，得到y的方程，即可判断．

解答： 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则

x12

16

+

y12

4

=1，

x22

16

+

y22

4

=1，
两式相减，可得，

(x1-x2)(x1+x2)

16

+

(y1-y2)(y1+y2)

4

=0，
又点M恰好为线段AB的中点，则x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
则直线l的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

4(y1+y2)

=-

1

2

，
则有直线l：y-1=-

1

2

（x-2）．即为x+2y-4=0．
联立椭圆方程x²+4y²=16，消去x，得到8y²-16y=0，方程有两解，
则所求直线为x+2y-4=0．

点评：本题考查点差法求中点弦所在直线方程，考查直线的斜率公式，及中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．