Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，过对角线BD₁ 的一个平面交AA₁ 于M，交CC₁ 于N．给出下列四个结论：
①四边形BMD₁N一定是平行四边形；
②四边形BMD₁N有可能是正方形；
③四边形BMD₁N 在底面ABCD内的投影一定是正方形；  
④平面BMD₁N 有可能垂直于平面BB₁D₁D．
其中正确的有

 

（写出所有正确结论的序号．）

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：根据面面平行和正方体的几何特征进行判断，利用一些特殊情况进行说明．

解答： 解：如图：
①由平面BCB₁C₁∥平面ADA₁D₁，并且B、E、F、D₁四点共面，
∴ED₁∥BF，同理可证，FD₁∥EB，故四边形BFD₁E一定是平行四边形，故①正确；
②若BFD₁E是正方形，有ED₁⊥BE，这个与A₁D₁⊥BE矛盾，故②错误；
③由图得，BFD₁E在底面ABCD内的投影一定是正方形ABCD，故③正确；
④当点E和F分别是对应边的中点时，平面BFD₁E⊥平面BB₁D₁，故④正确．
故答案为：①③④．

点评：本题主要考查了正方体的几何特征，利用面面平行和线线垂直，以及特殊情况进行判断，考查了空间信息能力和逻辑思维能力．