Question

11．若实数x、y满足x²+y²+2x+2y+1=0，则$\frac{y}{x-1}$的取值范围是（　　）

• A． （-∞，0]∪[$\frac{3}{4}$，+∞）
• B． （-∞，0]∪[$\frac{4}{3}$，+∞）
• C． [0，$\frac{3}{4}$]
• D． [0，$\frac{4}{3}$]

Answer 1

分析 方程即 （x+1）²+（y+1）²=1，表示一个以C（-1，-1）为圆心、半径等于1的圆．$\frac{y}{x-1}$表示圆上的点（x y）与点A（1，0）连线的斜率．求出圆的两条切线方程，可得切线斜率k的范围．

解答 解：x²+y²-2x-2y+1=0 即 （x+1）²+（y+1）²=1，表示一个以C（-1，-1）为圆心、半径等于1的圆．$\frac{y}{x-1}$表示圆上的点（x y）与点A（1，0）连线的斜率．
设圆的过点A的一条切线斜率为k，则切线的方程为 y-0=k（x-1），即 kx-y-k=0．
由圆心到切线的距离等于半径可得$\frac{|-2k+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=1$，k=$\frac{4}{3}$．
另外圆还有一条切线为y=0，故切线的斜率k的范围为[0，$\frac{4}{3}$]，
则$\frac{y}{x-1}$的取值范围是[0，$\frac{4}{3}$]，
故选：D．

点评 本题主要考查圆的标准方程、直线的斜率公式、点到直线的距离公式的应用，属于中档题．