题目内容

已知函数f（x）=x（ax+a-x）（a＞0，a≠1）．
（1）证明f（x）为奇函数；
（2）若f（x）的图象经过点（1，
5
2
），求a的值．
考点：函数奇偶性的性质
专题：函数的性质及应用
分析：（1）根据奇函数的定义，先判断函数f（x）的定义域是否关于原点对称，再判断f（-x）与f（x）的关系，可得结论；
（2）将点（1，
5
2
），代入f（x）=x（ax+a-x）可得a+a-1=
5
2
，解得答案．
解答： （1）证明：∵函数f（x）=x（ax+a-x）的定义域R关于原点对称，
且f（-x）=-x（ax+a-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数；
（2）解：∵f（x）的图象经过点（1，
5
2
），
∴a+a-1=
5
2
，
解得：a=2，或a=
1
2
．
点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的证明，函数解析式的求法，难度不大，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=2
3
sinxcosx+2cos2x+a-1（a∈R，a是常数）．
（1）求f（
π
3
）的值；
（2）若函数f（x）在[-
π
4
，
π
4
]上的最大值与最小值之和为
3
，求实数a的值．
曲线y=x2+lnx在点（1，1）处的切线方程为
 
．
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等差数列{bn}的前n项和为Tn，且
an
bn
=
14n-5
2n+2
，求
Sn
Tn
．
已知等差数列{an}的前n项和为Sn=2n2+n，则数列{an}的公差d=
 
．
若A、B为锐角△ABC的两个锐角，函数f（x）在（0，1）上是单减函数，则（　　）
A、f（sinA）＞f（cosB）
B、f（sinA）＜f（cosB）
C、f（cosA）=f（sinB）
D、f（cosA）＞f（sinB）
函数y=1-sinx，x∈[0，2π]的图象与直线y=
3
2
交点的个数是（　　）
A、0B、1C、2D、3
求函数f（x）=
log
1
3
(1-x)+4
的定义域．
已知函数f（x）=4cosx•sin（x+
π
6
）+2．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[-
π
6
，
π
4
]上的最大值和最小值．

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