Question

18．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，$B=\frac{π}{6}$．求cosA+sinC取值范围．

Answer 1

分析 由题意可得A+C=$\frac{5π}{6}$，$\frac{2π}{3}$＜A+$\frac{π}{3}$＜$\frac{5π}{6}$．化简cosA+sinC为$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{3}$），利用正弦函数的定义域和值域，求得cosA+sinC取值范围．

解答 解：设锐角三角形ABC中，∵$B=\frac{π}{6}$，∴A+C=$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{3}$＜A＜$\frac{π}{2}$，∴$\frac{2π}{3}$＜A+$\frac{π}{3}$＜$\frac{5π}{6}$．
又 cosA+sinC=cosA+sin（$\frac{5π}{6}$-A）=cosA+sin$\frac{5π}{6}$cosA-cos$\frac{5π}{6}$sinA
=$\frac{3}{2}$cosA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA=$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{3}$），
∵sin（A+$\frac{π}{3}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]，∴$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{3}$）∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$]，
故cosA+sinC取值范围为（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$]．

点评 本题主要考查两角和差的三角公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．