题目内容
已知椭圆| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
（1）求椭圆离心率的取值范围；
（2）设椭圆的短半轴长为1，圆F2与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A，B两点，与圆F2交于C，D两点，若O在以AB为直径的圆上，求|
| CD |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）设切线长|PT|=
，当且仅当|PF2|取得最小值时取得最小值，由此能求出椭圆离心率的取值范围．
（2）依题意得点Q的坐标为（1，0），直线l的方程为y=k（x-1），联立方程组
，得（a2k2+1）x2-2a2k2x+a2k2-a2=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出|
|的最大值．
| |PF2|2-(b-c)2 |
（2）依题意得点Q的坐标为（1，0），直线l的方程为y=k（x-1），联立方程组
|
| CD |
解答：
解：（1）根据题意可设切线长|PT|=
，
所以当且仅当|PF2|取得最小值时取得最小值．
而|PF2|min=a-c，所以
≥
(a-c)，
所以0＜
≤
，
从而解得
≤e＜
，
∴离心率的取值范围是{e|
≤e＜
}．…（5分）
（2）依题意得点Q的坐标为（1，0），
则得直线l的方程为y=k（x-1），
联立方程组
，
得（a2k2+1）x2-2a2k2x+a2k2-a2=0，
则有x1+x2=
，x1x2=
，
代入直线方程得y1y2=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=
，x1x2+y1y2=
，
由题意OA⊥OB，所以
•
=0，
所以x1x2+y1y2=0，k2=a2，解得k=a，
直线方程为ax-y-a=0，圆心F2（c，0）到直线l的距离d=
，|CD|2=4[(b-c)2-d2]=4[(1-c)2-
]=
，|CD|=
=2
=2
=2
=2
，
又由（1）知
≤e＜
，
所以
≤c＜1，
≤2c+1＜3，所以|CD|∈(0，
]，
所以当c=
时，|CD|max=
，
所以|
|的最大值为
．…（13分）
| |PF2|2-(b-c)2 |
所以当且仅当|PF2|取得最小值时取得最小值．
而|PF2|min=a-c，所以
| (a-c)2-(b-c)2 |
| ||
| 2 |
所以0＜
| b-c |
| a-c |
| 1 |
| 2 |
从而解得
| 3 |
| 5 |
| ||
| 2 |
∴离心率的取值范围是{e|
| 3 |
| 5 |
| ||
| 2 |
（2）依题意得点Q的坐标为（1，0），
则得直线l的方程为y=k（x-1），
联立方程组
|
得（a2k2+1）x2-2a2k2x+a2k2-a2=0，
则有x1+x2=
| 2a2k2 |
| a2k2+1 |
| a2k2-a2 |
| a2k2+1 |
代入直线方程得y1y2=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=
| k2(1-a2) |
| a2k2+1 |
| k2-a2 |
| a2k2+1 |
由题意OA⊥OB，所以
| OA |
| OB |
所以x1x2+y1y2=0，k2=a2，解得k=a，
直线方程为ax-y-a=0，圆心F2（c，0）到直线l的距离d=
| |ac-a| | ||
|
| a2(c-1)2 |
| a2+1 |
| 4(c-1)2 |
| a2+1 |
| 2|c-1| | ||
|
|
|
1-
|
1-
|
又由（1）知
| 3 |
| 5 |
| ||
| 2 |
所以
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| 2 |
2
| ||
| 41 |
所以当c=
| 3 |
| 4 |
2
| ||
| 41 |
所以|
| CD |
2
| ||
| 41 |
点评：本题考查椭圆离心率的取值范围的求法，考查线段长的最大值的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．
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