题目内容
已知x＞0，y＞0，a∈R，b∈R．求证（
）2≤
．
| ax+by |
| x+y |
| a2x+b2y |
| x+y |
考点：不等式的证明
专题：不等式的解法及应用
分析：利用“分析法”和不等式的性质即可证明．
解答：
证明：∵x＞0，y＞0，∴x+y＞0，
∴要证(
)2≤
，
即证（ax+by）2≤（x+y）（a2x+b2y）．
即证xy（a2-2ab+b2）≥0，
即证（a-b）2≥0，
而（a-b）2≥0显然成立，
故(
)2≤
．
∴要证(
| ax+by |
| x+y |
| a2x+b2y |
| x+y |
即证（ax+by）2≤（x+y）（a2x+b2y）．
即证xy（a2-2ab+b2）≥0，
即证（a-b）2≥0，
而（a-b）2≥0显然成立，
故(
| ax+by |
| x+y |
| a2x+b2y |
| x+y |
点评：本题考查了“分析法”和不等式的性质证明不等式，属于基础题．
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