Question

设函数 f（x）对于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）且x＞0时f（x）＜0，f（1）=-2．
（1）判断f（x）的奇偶性，并证明．
（2）证明f（x）在R上是减函数，并求出x∈[-3，3]时，f（x）的最大值及最小值．
（3）若f（2x+5）+f（6-7x）＞4，求x的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,奇偶性与单调性的综合,抽象函数及其应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）通过对恒等式中的两个量x，y赋值，得出f（x）与f（-x）的关系，即可证明出函数的奇偶性；
（2）设x₁＜x₂，根据恒等式将f（x₁）-f（x₂）的差变为-f（x₂-x₁），再由条件x＞0时f（x）＜0判断出差的符号，即可得出单调性从而求出最值；
（3）利用单调性解f（2x+5）+f（6-7x）＞4即可得出x的取值范围．

解答： 解：（1）是奇函数．令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0）⇒f（0）=0，
又令x=x，y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），故得f（-x）=-f（x），
即f（x）是奇函数．
（2）设x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）=-f（x₂-x₁），
由x₁＜x₂得x₂-x₁＞0，又x＞0时f（x）＜0，知f（x₂-x₁）＜0，即：f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在R上是减函数，
∴当x∈[-3，3]时，f（3）≤f（x）≤f（-3），
∵f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）=2f（1）=-4，
∴f（2）=-4f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=-4-2=-6，
∴f（-3）=6．
即-6≤f（x）≤6，当x=-3时，y_max=6；x=3，y_min=-6
（3）由f（2x+5）+f（6-7x）＞4，且f（-2）=4，得f（2x+5+6-7x）＞f（-2）．即f（11-5x）＞f（-2）．
又由（2）知f（x）在R上是减函数．得11-5x＜-2，解得x＞

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点评：本题考查函数恒成立问题及抽象函数应用，函数单调性与奇偶性的关系，综合性强，考查了构造法，转化的思想，利用单调性解不等式的技巧等，属于中档题．