Question

设f（x）是定义在[-1，1]上奇函数，且对任意的a，b∈[-1，1]，当a+b≠0时，都有

f(a)+f(b)

a+b

＜0，则不等式f（2x-

1

2

）＜f（x-

1

4

）的解集为

 

．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：本题利用函数的奇偶性将条件有

f(a)+f(b)

a+b

＜0转化为函数的单调性，再利用函数单调性将不等式f（2x-

1

2

）＜f（x-

1

4

）转化为不等式组，解不等式组，得到本题结论．

解答： 解：∵f（x）是定义在[-1，1]上奇函数，
∴f（-x）=-f（x）．
∵对任意的a，b∈[-1，1]，当a+b≠0时，都有

f(a)+f(b)

a+b

＜0，
∴-b∈[-1，1]，

f(a)+f(-b)

a+(-b)

＜0．
∴

f(a)-f(b)

a-b

＜0，
∴当a＞b时，f（a）＜f（b），
当a＜b时，f（a）＞f（b），
∴由a、b的任意性知：f（x）在区间[-1，1]上单调递减．
∵不等式f（2x-

1

2

）＜f（x-

1

4

），

2x- 1 2 ＞x- 1 4 x- 1 4 ≥-1 2x- 1 2 ≤1

，
∴

1

4

＜x≤

3

4

故答案为：（

1

4

，

3

4

]．

点评：本题考查了函数的奇偶性和单调性及其应用，本题难度不大，属于基础题．