Question

已知

m

=（2cosx+2

3

sinx，1），

n

=（cosx，-y），且

m

⊥

n

．
（1）将y表示为x的函数f（x），并求f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值；
（2）已知a、b、c分别为△ABC的三个内角A、B、C对应的边，若f（

A

2

）=3，且a=2，b+c=4，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数的最值

专题：三角函数的求值,解三角形,平面向量及应用

分析：（1）由

m

⊥

n

，可得

m

•

n

=cosx（2cosx+2

3

sinx）-y=0，即可得出y=2sin(2x+

π

6

)+1，由x∈[0，

π

2

]，可得(2x+

π

6

)∈[

π

6

，

7π

6

]，可得sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]．即可得出．
（2）f（

A

2

）=3，可得2sin(A+

π

6

)+1=3，解得A=

π

3

．再利用余弦定理可得bc．利用三角形的面积计算公式即可得出．

解答： 解：（1）∵

m

⊥

n

，∴

m

•

n

=cosx（2cosx+2

3

sinx）-y=0，
∴y=

3

sin2x+2cos2x
=

3

sin2x+cos2x+1
=2sin(2x+

π

6

)+1，
∵x∈[0，

π

2

]，∴(2x+

π

6

)∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]．
∴y∈[0，3]．
∴当x=

π

2

时，y取得最小值0；当x=

π

6

时，y取得最大值3．
（2）∵f（

A

2

）=3，∴2sin(A+

π

6

)+1=3，解得A=

π

3

．
∵a=2，b+c=4，
∴a²=b²+c²-2bccosA，
即4=（b+c）²-2bc-2bccos

π

3

，化为3bc=12，解得bc=4．
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×4×

3

2

=

3

．

点评：本题考查了三角函数的化简及其性质、向量垂直与数量积的关系、余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．