Question

11．已知函数f（x）=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+2$
（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）求f（x）在区间$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根据正弦函数的周期公式T=$\frac{2π}{|ω|}$，可求函数f（x）的最小正周期，根据正弦函数的增区间求得函数$f（x）=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+2$的单调递增区间；
（2）根据正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）的最值．

解答 解：（1）由题意得：$T=\frac{2π}{|ω|}=\frac{2π}{2}=π$，即周期为π．
令$μ=2x+\frac{π}{4}$，则$f（μ）=\sqrt{2}sinμ+2$．
∴$-\frac{π}{2}+2kπ≤μ≤\frac{π}{2}+2kπ$，即$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z
解之得：$-\frac{3π}{8}+kπ≤x≤\frac{π}{8}+kπ$，k∈Z
故函数$f（x）=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+2$的单调递增区间为$[-\frac{3π}{8}+kπ，\frac{π}{8}+kπ]（k∈Z）$；
（2）由$x∈[0，\frac{π}{2}]$得$2x+\frac{π}{4}∈[\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}]$，
∴$sin（2x+\frac{π}{4}）∈[-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1]$
∴$f（x）∈[1，2+\sqrt{2}]$即f（x）在区间$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值为$2+\sqrt{2}$，最小值为1．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性、单调性、定义域和值域，属于中档题．