题目内容

14.近两年双11网购受到广大市民的热捧.某网站为了答谢老顾客,在双11当天零点整,每个金冠买家都可以免费抽取200元或者500元代金券一张,中奖率分别是$\frac{2}{3}$和$\frac{1}{3}$.每人限抽一次,100%中奖.小张,小王,小李,小赵四个金冠买家约定零点整抽奖.
(I)试求这4人中恰有1人抽到500元代金券的概率;
(Ⅱ)这4人中抽到200元、500元代金券的人数分别用X、Y表示,记ξ=XY,求随机变量ξ的分布列与数学期望.

分析 (1)设“这4人中恰有i人抽到500元代金券”为事件Ai,由此利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出这4人中恰有1人抽到500元代金券的概率.
(2)由已知ξ可取0,3,4,分别求出相应的概率,由此能求出随机变量ξ的分布列与数学期望.

解答 解:(1)设“这4人中恰有i人抽到500元代金券”为事件Ai…..…(1分)
$P({A_1})=C_4^1{({\frac{1}{3}})^1}{({\frac{2}{3}})^3}=\frac{32}{81}$…(4分)
(2)由已知ξ可取0,3,4….(5分)
$P({ξ=0})=P({A_0})+P({A_4})=C_4^0{({\frac{1}{3}})^0}{({\frac{2}{3}})^4}+C_4^4{({\frac{1}{3}})^4}{({\frac{2}{3}})^0}=\frac{16}{81}+\frac{1}{81}=\frac{17}{81}$,
$P({ξ=3})=P({A_1})+P({A_3})=C_4^1{({\frac{1}{3}})^1}{({\frac{2}{3}})^3}+C_4^3{({\frac{1}{3}})^3}{({\frac{2}{3}})^1}=\frac{32}{81}+\frac{8}{81}=\frac{40}{81}$,
$P({ξ=4})=P({A_2})=C_4^2{({\frac{1}{3}})^2}{({\frac{2}{3}})^2}=\frac{24}{81}=\frac{8}{27}$….(9分)
ξ分布列:

ξ     0     34
P    $\frac{17}{81}$    $\frac{40}{81}$   $\frac{24}{81}$
….(11分)
$E(ξ)=0×\frac{17}{81}+3×\frac{40}{81}+4×\frac{24}{81}=\frac{8}{3}$….(12分)

点评 本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意排列组合知识的合理运用.

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