题目内容
已知圆M：（x-2）2+（y-2）2=
，直线l：x+y-9=0，过l上一点A作△ABC，使∠BAC=45°，边AB恰过圆心M，且B、C均在圆M上．
（1）当点A的横坐标为4时，求直线AC的方程；
（2）求点A横坐标的取值范围．
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（1）当点A的横坐标为4时，求直线AC的方程；
（2）求点A横坐标的取值范围．
考点：直线和圆的方程的应用
专题：直线与圆
分析：（1）当点A的横坐标为4时，求出A的坐标即可，求直线AC的方程；
（2）根据直线和圆的位置公式即可求点A横坐标的取值范围．
（2）根据直线和圆的位置公式即可求点A横坐标的取值范围．
解答：
解：（1）依题意M（2，2），A（4，5），k AM=
，
设直线AC的斜率为k，则
=1，解得k=-5或
，
故所求直线AC的方程为5x+y-25=0或x-5y+21=0；
（2）圆的方程可化为（x-2）2+（y-2）2=（
）2，设A点的横坐标为a．
则纵坐标为9-a；
①当a≠2时，k AB=
，设AC的斜率为k，把∠BAC看作AB到AC的角，
则可得k=
，直线AC的方程为y-（9-a）=
（x-a）
即5x-（2a-9）y-2a2+22a-81=0，
又点C在圆M上，
所以只需圆心到AC的距离小于等于圆的半径，
即
≤
，
化简得a2-9a+18≤0，
解得3≤a≤6；
②当a=2时，则A（2，7）与直线x=2成45°角的直线为y-7=x-2
即x-y+5=0，M到它的距离d=
=
＞
，
这样点C不在圆M上，
还有x+y-9=0，显然也不满足条件，
综上：A点的横坐标范围为[3，6]．
| 3 |
| 2 |
设直线AC的斜率为k，则
|k-
| ||
|1+
|
| 1 |
| 5 |
故所求直线AC的方程为5x+y-25=0或x-5y+21=0；
（2）圆的方程可化为（x-2）2+（y-2）2=（
| ||
| 2 |
则纵坐标为9-a；
①当a≠2时，k AB=
| 7-a |
| a-2 |
则可得k=
| 5 |
| 2a-9 |
| 5 |
| 2a-9 |
即5x-（2a-9）y-2a2+22a-81=0，
又点C在圆M上，
所以只需圆心到AC的距离小于等于圆的半径，
即
| |5×2-2(2a-9)-2a2+22a-81| | ||
|
| ||
| 2 |
化简得a2-9a+18≤0，
解得3≤a≤6；
②当a=2时，则A（2，7）与直线x=2成45°角的直线为y-7=x-2
即x-y+5=0，M到它的距离d=
| |2-2+5| | ||
|
5
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
这样点C不在圆M上，
还有x+y-9=0，显然也不满足条件，
综上：A点的横坐标范围为[3，6]．
点评：本题主要考查直线与圆的位置关系及方程的应用，还涉及了直线中的到角公式，点到直线的距离等．综合性较强，运算量较大．
练习册系列答案
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如图所示：给出函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤
）的图象的一段，则f（x）的表达式为（ ）
| π |
| 2 |
A、y=2sin（x+
| ||
B、y=2sin（x-
| ||
C、y=-2sin（2x+
| ||
D、y=2sin（2x+
|