题目内容
已知抛物线方程为y2=4x，过点A（1，2）作抛物线的弦AP、AQ．若AP⊥AQ，则点O到直线PQ距离的最大值为 ．
考点：直线与圆锥曲线的关系
专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：设直线l的方程与抛物线方程联立，利用AP⊥AQ，结合韦达定理，即可证明直线PQ过定点，并可求出定点的坐标，再由当OC垂直于直线PQ时，点O到直线PQ距离取得最大值，求出即可．
解答：
解：设直线PQ的方程为x=my+n，
点P、Q的坐标分别为P（x1，y1），Q（x2，y2），
将直线方程代入抛物线方程，消x得y2-4my-4n=0，
由△＞0，得m2+n＞0，y1+y2=4m，y1•y2=-4n，
∵AP⊥AQ，∴
•
=0，
∴（x1-1）（x2-1）+（y1-2）（y2-2）=0，
∴（y1-2）（y2-2）[（y1+2）（y2+2）+16]=0，
∴（y1-2）（y2-2）=0或（y1+2）（y2+2）+16=0．
∴n=2m-1或n=2m+5，∵△＞0恒成立，∴n=2m+5，
∴直线PQ的方程为x-5=m（y+2），
∴直线PQ过定点C（5，-2），
当OC垂直于直线PQ时，点O到直线PQ距离取得最大值，且为
=
．
故答案为：
．
点P、Q的坐标分别为P（x1，y1），Q（x2，y2），
将直线方程代入抛物线方程，消x得y2-4my-4n=0，
由△＞0，得m2+n＞0，y1+y2=4m，y1•y2=-4n，
∵AP⊥AQ，∴
| AP |
| AQ |
∴（x1-1）（x2-1）+（y1-2）（y2-2）=0，
∴（y1-2）（y2-2）[（y1+2）（y2+2）+16]=0，
∴（y1-2）（y2-2）=0或（y1+2）（y2+2）+16=0．
∴n=2m-1或n=2m+5，∵△＞0恒成立，∴n=2m+5，
∴直线PQ的方程为x-5=m（y+2），
∴直线PQ过定点C（5，-2），
当OC垂直于直线PQ时，点O到直线PQ距离取得最大值，且为
| 52+22 |
| 29 |
故答案为：
| 29 |
点评：本题主要考查直线与抛物线的综合问题．解决的巧妙之处在于直线方程的设法．当直线的斜率不确定存在时，为避免讨论，常设直线方程为x=my+n的形式，同时考查点到直线的距离的最值的求法，属于中档题．
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