Question

14．设函数$f（x）=cos（2x-\frac{4π}{3}）+2{cos^2}x$．
（1）求函数f（x）的最大值；
（2）已知△ABC中，角A，B，C为其内角，若$f（B+C）=\frac{3}{2}$，求A的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用余弦函数的值域求得函数f（x）的最大值．
（2）△ABC中，由题意求得cos（2A-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，从而求得A的值．

解答 解：（1）∵$f（x）=cos（2x-\frac{4π}{3}）+2{cos^2}x$=$cos2xcos\frac{4π}{3}+sin2xsin\frac{4π}{3}+cos2x$
=$cos（2x+\frac{π}{3}）+1$，
∴函数f（x）的最大值为2．
（2）△ABC中，∵$f（B+C）=cos[2（B+C）+\frac{π}{3}]+1=\frac{3}{2}$，∴$cos（2A-\frac{π}{3}）=\frac{1}{2}$，
∴2A-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$，∴A=$\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的值域，属于基础题．