Question

5．函数f（x）=（log₂x-2）（log₄x-$\frac{1}{2}$）．
（1）当x∈[1，4]时．求该函数的值域；
（2）若f（x）＞mlog₄x对于x∈[4，16]恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令t=log₄x，x∈[1，4]时，t∈[0，1]，此时y=f（x）=（2t-2）（t-$\frac{1}{2}$）=2t²-3t+1，由二次函数的图象和性质，可得函数的值域；
（2）若f（x）＞mlog₄x对于x∈[4，16]恒成立，令t=log₄x，即2t²-3t+1≥mt对t∈[1，2]恒成立，进而可得答案．

解答 解（1）f（x）=（log₂x-2）（log₄x-$\frac{1}{2}$），
  令t=log₄x，x∈[1，4]时，t∈[0，1]，
此时y=f（x）=（2t-2）（t-$\frac{1}{2}$）=2t²-3t+1，
当t=$\frac{3}{4}$时，y取最小值-$\frac{1}{8}$，当t=0时，y取最大值1，
∴$y∈[{-\frac{1}{8}，1}]$
即函数的值域为：$[-\frac{1}{8}，1]$；
（2）若f（x）＞log₄x对于x∈[4，16]恒成立，
令t=log₄x，即2t²-3t+1≥mt对t∈[1，2]恒成立，
∴$m＜2t+\frac{1}{t}-3$对t∈[1，2]恒成立
易知$g（t）=2t+\frac{1}{t}-3$在t∈[1，2]上单调递增
∴g（t）_min=g（1）=0，
∴m＜0．

点评 本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，二次函数的图象和性质，对数函数的图象和性质，难度中档．