Question

1．B．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（2c-a）cosB=b（cosA-2cosC）．
（1）求$\frac{a}{c}$的值；
（2）若$b=2，cosB=\frac{1}{4}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理得：（2sinC-sinA）cosB=sinB（cosA-2cosC），从而2sinA=sinC，由此能求出$\frac{a}{c}$的值．
（2）由cosB=$\frac{1}{4}$，得sinB=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB，从而求出a=1，c=2，由此能求出△ABC的面积．

解答 解：（1）∵在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
（2c-a）cosB=b（cosA-2cosC），
∴由正弦定理得：（2sinC-sinA）cosB=sinB（cosA-2cosC），
化简，得2sin（C+B）=sin（A+B），
∵A+B+C=π，∴2sinA=sinC，
∴2a=c，∴$\frac{a}{c}=\frac{1}{2}$．
（2）∵cosB=$\frac{1}{4}$，∴sinB=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB，
又b=2，∴$4={a}^{2}+4{a}^{2}-4{a}^{2}×\frac{1}{4}$，
解得a=1，c=2，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}acsinB=\frac{\sqrt{15}}{4}$．

点评 本题考查三角形中两线段的比值的求法，考查三角形面积的求法，考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．