Question

11．已知数列{a_n}的首项为a₁=1，且a_n+1=$\frac{{a}_{n}+4}{{a}_{n}+1}$，（n∈N*）．
（I）求a₂，a₃的值．
（2）证明：a_2n-1＜a_2n+1＜2．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，且a_n+1=$\frac{{a}_{n}+4}{{a}_{n}+1}$（n∈N^*），运用代入法，计算可得a₂，a₃．
（2）利用$\frac{{a}_{n+1}+2}{{a}_{n+1}-2}$=$\frac{3（{a}_{n}+2）}{-（{a}_{n}-2）}$，可得数列{$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}-2}$}是等比数列，首项为-3，公比为-3，再由等比数列的通项公式可得a_n，再由不等式的性质即可证明．

解答 解：（1）∵a₁=1，且a_n+1=$\frac{{a}_{n}+4}{{a}_{n}+1}$（n∈N^*）．
∴a₂=$\frac{{a}_{1}+4}{{a}_{1}+1}$=$\frac{5}{2}$，a₃=$\frac{{a}_{2}+4}{{a}_{2}+1}$=$\frac{13}{7}$．
（2）证明：$\frac{{a}_{n+1}+2}{{a}_{n+1}-2}$=$\frac{\frac{{a}_{n}+4}{{a}_{n}+1}+2}{\frac{{a}_{n}+4}{{a}_{n}+1}-2}$=$\frac{3（{a}_{n}+2）}{-（{a}_{n}-2）}$，
∴数列{$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}-2}$}是等比数列，首项为-3，公比为-3．
∴$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}-2}$=（-3）ⁿ，
解得a_n=2+$\frac{4}{（-3）^{n}-1}$，
∴a_2n-1=2-$\frac{4}{{3}^{2n-1}+1}$＜2-$\frac{4}{{3}^{2n+1}+1}$=a_2n+1＜2．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．