Question

15．已知△ABC的外接圆的圆心为O，AB=2，AC=3，BC=4，则$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$=（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{5}{2}$
• C． 2
• D． 7

Answer 1

分析 作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，利用圆的弦的性质可得AD=$\frac{1}{2}•AB$，求得$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$=$\frac{{AB}^{2}}{2}$，同理可得$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}$=$\frac{{AC}^{2}}{2}$，从而求得$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AO}$•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）的值．

解答 解：作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
∵⊙O中，OD⊥AB，∴AD=$\frac{1}{2}•AB$，cos∠OAD=$\frac{AD}{AO}$，
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$=AO•AB•cos∠OAD=$\frac{{AB}^{2}}{2}$=2，
同理可得$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}$=$\frac{{AC}^{2}}{2}$=$\frac{9}{2}$，
∴$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AO}$•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$=$\frac{9}{2}$-2=$\frac{5}{2}$，
故选：B．

点评 本题给出三角形的外接圆的圆心为0，在已知三边长的情况下求$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}$的值，着重考查了圆中垂直于弦的直径性质、三角函数在直角三角形中的定义和向量数量积公式及其性质等知识，属于中档题．