Question

如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE，∠AEB=90°，BE=BC，F为CE的中点，求证：
（1）AE∥平面BDF；
（2）平面BDF⊥平面BCE．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）设AC∩BD=G，连结FG，易知G是AC的中点，可证FG∥AE，从而可证AE∥平面BDF．
（2）由BC⊥平面ABE．可证BC⊥AE，由AE⊥平面BCE，可证FG⊥平面BCE，从而可证平面BDF⊥平面BCE．

解答： 证明：（1）设AC∩BD=G，连结FG，易知G是AC的中点，
因为 F是EC中点，所以 在△ACE中，FG∥AE．…（2分）
因为 AE?平面BDF，FG?平面BDF，
所以 AE∥平面BDF． …（6分）

（2）因为 平面ABCD⊥平面ABE，BC⊥AB，
平面ABCD∩平面ABE=AB，所以 BC⊥平面ABE．…（8分）
因为 AE?平面ABE，所以 BC⊥AE．…（10分）
又AE⊥BE，BC∩BE=B，所以 AE⊥平面BCE，又FG∥AE，
所以FG⊥平面BCE，…（12分）
因为 FG?平面BDF，所以平面BDF⊥平面BCE．…（14分）

点评：本题主要考察了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，连接GF，证明FG∥AE是解题的关键，属于中档题．