Question

16．如图，椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$的左、右焦点分别为F₁、F₂，一条直线l经过F₁与椭圆交于A，B两点，若直线l的倾斜角为45°，求△ABF₂的面积．

Answer 1

分析 求出直线l的方程，与椭圆方程联立，消去x，由根与系数的关系求出|y₁-y₂|的值，即可计算△ABF₂的面积S．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$的左、右焦点分别为F₁（-$\sqrt{7}$，0），F₂（$\sqrt{7}$，0），
直线l的倾斜角为45°，直线的斜率是k=tan45°=1，且过焦点F₁（-$\sqrt{7}$，0）；
∴直线方程为y=x+$\sqrt{7}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=x+\sqrt{7}}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$，
消去x，得9（y-$\sqrt{7}$）2+16y²=144，
整理得25y²-18$\sqrt{7}$y-81=0，y₁+y₂=$\frac{18\sqrt{7}}{25}$，y₁y₂=$\frac{-81}{25}$；
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{18\sqrt{7}}{25}）^{2}+4×\frac{81}{25}}$=$\frac{72\sqrt{2}}{25}$；
∴△ABF₂的面积S=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{7}$×$\frac{72\sqrt{2}}{25}$=$\frac{72\sqrt{14}}{25}$．

点评 本题考查了直线与椭圆的方程的应用问题，也考查了椭圆的定义的应用问题，是中档题．