Question

6．（I）求证：$\sqrt{5}$+$\sqrt{7}$＜2$\sqrt{6}$；
（Ⅱ）已知a＞0，b＞0且a+b＞2，求证：$\frac{1+a}{b}$，$\frac{1+b}{a}$中至少有一个小于2．

Answer 1

分析 （I）直接法不易求证，可用分析法进行证明．
（Ⅱ）利用了反证法，假设：$\frac{1+a}{b}$，$\frac{1+b}{a}$都不小于2，则$\frac{1+a}{b}$≥2，$\frac{1+b}{a}$≥2，推得即a+b≤2，这与已知a+b＞2矛盾，故假设不成立，从而原结论成立．

解答 证明：（Ⅰ）因为$\sqrt{5}$+$\sqrt{7}$和2$\sqrt{6}$都是正数，所以为了证明$\sqrt{5}$+$\sqrt{7}$＜2$\sqrt{6}$，
只要证 （$\sqrt{5}$+$\sqrt{7}$）＜（2$\sqrt{6}$），
只需证：12+2$\sqrt{35}$＜24，
即证：$\sqrt{35}$＜6，
即证：35＜36，
因为35＜36显然成立，所以原不等式成立．-------（6分）
（Ⅱ）假设$\frac{1+a}{b}$，$\frac{1+b}{a}$都不小于2，则$\frac{1+a}{b}$≥2，$\frac{1+b}{a}$≥2
∵a＞0，b＞0，∴1+b≥2a，1+a≥2b，
∴1+1+a+b≥2（a+b），即a+b≤2 
这与已知a+b＞2矛盾，故假设不成立，从而原结论成立．-------------（12分）

点评 本题主要考查了推理论证的两种方法分析法和反证法，属于中档题．