Question

5．已知函数f（x）=x³-3ax+b（a≠0）的图象在点（2，f（2））处的切线方程为y=8．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）求函数f（x）的极值．

Answer 1

分析 （1）根据切点既在切线上又在函数f（x）的图象上，建立一等式关系，再根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=2处的导数，建立另一关系式，解方程组即可求出a和b的值；
（2）先求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函数的单调区间；
（3）由（2）即可求函数f（x）的极值．

解答 解：（1）∵切点（2，f（2））在切线y=8上，又f（2）=8-6a+b，
∴8-6a+b=8，得b=6a，①-------------------------------（2分）
∵f′（x）=3x²-3a，且y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为0，
∴f′（2）=12-3a=0，②---------------------------（4分）
由①②得，a=4，b=6a=24．------------------------------（5分）
（2）∵f（x）=x³-12x+24，∴f′（x）=3x²-12．
令f'（x）=0，则x=-2或2，-----------------------------（8分）

x	（-∞，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）		40		8

故f（x）的单调增区间为：（-∞，-2）和（2，+∞）
单调减区间为：（-2，2）．------------------------------------------------（12分）
（3）由（2）得：当x=-2时，f（x）有极大值，为40，
当x=2时，f（x）有极小值，为8．-----------------------------（15分）

点评 本题是一综合题，考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的极值．