Question

8．已知数列a_n=1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$（n∈N^*）
求证：a${\;}_{n}^{2}$+$\frac{7}{4}＞$2（a₁$+\frac{{a}_{2}}{2}$$+\frac{{a}_{3}}{3}$$+…+\frac{{a}_{n}}{n}$）（n∈N^*）

Answer 1

分析 推导出${{a}_{n}}^{2}-{{a}_{n-1}}^{2}$=$\frac{2{a}_{n}}{n}-\frac{1}{{n}^{2}}$，从而利用累加法，得${{a}_{n}}^{2}$=2（${a}_{1}+\frac{{a}_{2}}{2}+\frac{{a}_{3}}{3}+…+\frac{{a}_{n}}{n}$）-（1+$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}$）+$\frac{7}{4}$，要证a${\;}_{n}^{2}$+$\frac{7}{4}＞$2（a₁$+\frac{{a}_{2}}{2}$$+\frac{{a}_{3}}{3}$$+…+\frac{{a}_{n}}{n}$）（n∈N^*），只需证明：$1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{7}{4}$，由此能证明a${\;}_{n}^{2}$+$\frac{7}{4}＞$2（a₁$+\frac{{a}_{2}}{2}$$+\frac{{a}_{3}}{3}$$+…+\frac{{a}_{n}}{n}$）（n∈N^*）．

解答 证明：∵a_n=1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$（n∈N^*），
∴${a}_{n}={a}_{n-1}+\frac{1}{n}$，
∴（a_n-$\frac{1}{n}$）²=${{a}_{n-1}}^{2}$，
∴${{a}_{n}}^{2}-{{a}_{n-1}}^{2}$=$\frac{2{a}_{n}}{n}-\frac{1}{{n}^{2}}$，
${{a}_{n-1}}^{2}-{{a}_{n-2}}^{2}=\frac{2{a}_{n-1}}{n-1}-\frac{1}{（n-1）^{2}}$，
…
${{a}_{3}}^{2}-{{a}_{2}}^{2}$=$\frac{2{a}_{3}}{3}$-$\frac{1}{{3}^{2}}$，
${{a}_{2}}^{2}-{{a}_{1}}^{2}$=$\frac{2{a}_{2}}{2}-\frac{1}{{2}^{2}}$，
累加，得：${{a}_{n}}^{2}-{{a}_{1}}^{2}$=2（$\frac{{a}_{2}}{2}+\frac{{a}_{3}}{3}+…+\frac{{a}_{n}}{n}$）-（$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}$），
∴${{a}_{n}}^{2}$=2（${a}_{1}+\frac{{a}_{2}}{2}+\frac{{a}_{3}}{3}+…+\frac{{a}_{n}}{n}$）-（1+$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}$）+$\frac{7}{4}$，
要证a${\;}_{n}^{2}$+$\frac{7}{4}＞$2（a₁$+\frac{{a}_{2}}{2}$$+\frac{{a}_{3}}{3}$$+…+\frac{{a}_{n}}{n}$）（n∈N^*），
只需证明：$1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{7}{4}$，
n=1时，1＜$\frac{7}{4}$；n=2时，1+$\frac{1}{{2}^{2}}$=$\frac{5}{4}$＜$\frac{7}{4}$．
n≥3时，$1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}$＜$1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2×3}^{\;}}$+$\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n（n-1）}$
=1+$\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$＜$\frac{7}{4}$．
∴a${\;}_{n}^{2}$+$\frac{7}{4}＞$2（a₁$+\frac{{a}_{2}}{2}$$+\frac{{a}_{3}}{3}$$+…+\frac{{a}_{n}}{n}$）（n∈N^*）．

点评 本题考查数列不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意累加法、等价转化思想、放缩法、裂项求和法的合理运用．