Question

2．若对函数y=f（x）定义域内的每一个值x₁，都存在唯一的值x₂，使得f（x₁）f（x₂）=1成立，则称此函数为“黄金函数”，给出下列四个函数：①y=$\frac{1}{x}$；②y=log₂x；③y=（$\frac{1}{2}$）^x；④y=x²，其中是“黄金函数”的序号是①③．

Answer 1

分析 利用“黄金函数”的定义，依次分析所给的四个函数，能得到正确答案．

解答 解：对于①，函数y=$\frac{1}{x}$，由f（x₁）f（x₂）=1，得$\frac{1}{{x}_{1}}•\frac{1}{{x}_{2}}$=1，即x₁x₂=1，
对应的x₁、x₂唯一，所以y=$\frac{1}{x}$是“黄金函数”，故①正确．
对于②，因为函数y=log₂x有零点，即当x=1时，y=log₂x=0，
所以当x₁=1时，不存在x₂满足f（x₁）f（x₂）=1成立，所以函数y=log₂x不是“黄金函数”，故②不正确；
对于③，函数y=（$\frac{1}{2}$）^x，由f（x₁）f（x₂）=1，得（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{x}_{1}}$（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{x}_{2}}$=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$=1，即x₁+x₂=0，
所以x₂=-x₁，可得定义域内的每一个值x₁，都存在唯一的值x₂满足条件，故函数y=（$\frac{1}{2}$）^x是“黄金函数”，故③正确；
对于④，y=x²，由f（x₁）f（x₂）=1，得x₁²x₂²=1，
对应的x₁、x₂不唯一，所以y=x^-2不是“黄金函数”，故④不正确．
综上所述，正确命题的序号是①③．
故答案为：①③．

点评 本题考查“黄金函数”的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．