Question

14．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦点在圆x²+y²=4上，过椭圆的左顶点倾斜角为$\frac{π}{3}$的直线与圆x²+y²=4相切，则椭圆的离心率（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 由圆x²+y²=4，令y=0，解得x，可得椭圆的焦点，可得c．过椭圆的左顶点倾斜角为$\frac{π}{3}$的直线方程为：y=$\sqrt{3}$（x+a），由于此直线与圆x²+y²=4相切，利用直线与圆相切的充要条件即可得出．

解答 解：由圆x²+y²=4，令y=0，解得x=±2，
可得椭圆的焦点（±2，0），∴c=2．
过椭圆的左顶点倾斜角为$\frac{π}{3}$的直线方程为：y=$\sqrt{3}$（x+a），
∵此直线与圆x²+y²=4相切，
∴$\frac{|\sqrt{3}a|}{\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}}$=2，解得a=$\frac{4}{\sqrt{3}}$．
∴椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的充要条件、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．