Question

9．在长方体OABC-O₁A₁B₁C₁中，OA=2，AB=3，AA₁=2，E是BC的中点，求直线AO₁与B₁E所成的角的余弦值．

Answer 1

分析 以O为原点，OA为x轴，OC为y轴，OO₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AO₁与B₁E所成的角的余弦值．

解答 解：以O为原点，OA为x轴，OC为y轴，OO₁为z轴，建立空间直角坐标系，
A（2，0，0），O₁（0，0，2），B₁（2，3，2），E（1，3，0），
$\overrightarrow{A{O}_{1}}$=（-2，0，2），$\overrightarrow{{B}_{1}E}$=（-1，0，-2），
设直线AO₁与B₁E所成的角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{A{O}_{1}}•\overrightarrow{{B}_{1}E}|}{|\overrightarrow{A{O}_{1}}|•|\overrightarrow{{B}_{1}E}|}$=$\frac{|2+0-4|}{\sqrt{8}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
∴直线AO₁与B₁E所成的角的余弦值为：$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．