Question

5．已知命题p：不等式x²+8x+4≥ax在R上恒成立，命题q：方程ax²+6x+1=0有负根
（]）若p为真，求a的取值范围；
（2）若q为真，求a的取值范围；
（3）若“p且q”为假，“p或q”为真，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的性质得到关于a的不等式，基础即可；
（2）通过讨论a的范围结合二次函数的性质求出a的范围即可；
（3）通过讨论p，q的真假，从而求出a的范围即可．

解答 解：（1）关于命题p：不等式x²+8x+4≥ax在R上恒成立，
即x²+（8-a）x+4≥0在R上恒成立，
∴△=（8-a）²-16≤0，解得：4≤a≤12，
若p为真，a∈[4，12]；
（2）关于命题q：方程ax²+6x+1=0有负根
a≤0时，显然方程有负根，
a＞0时，只需△=36-4a＞0即可，解得：a＜9，
综上，若q为真，a∈（-∞，9）；
（3）若“p且q”为假，“p或q”为真，
则p，q一真一假，
p假q真时：a≤4，
p真q假时：9≤a≤12，
故a的范围是（-∞，4]∪[9，12]．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查复合命题的判断，是一道中档题．