Question

7．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx-$\frac{π}{6}}$）+b（ω＞0），且函数图象的对称中心到对称轴的最小距离为$\frac{π}{4}$，当x∈[0，$\frac{π}{4}}$]时，f（x）的最大值为1．
（I）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位长度得到函数g（x）图象，若g（x）-3≤m≤g（x）+3在x∈[0，$\frac{π}{3}}$]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由题意可求T=π，利用周期公式可求ω的值，可得解析式f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}}$）+b，结合范围2x-$\frac{π}{6}}$∈[-$\frac{π}{6}}$，$\frac{π}{3}$]，利用正弦函数的有界性解得b的值，从而可求函数f（x）的解析式．
（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求g（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{1}{2}$，结合范围2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，可求范围g（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{1}{2}$∈[-2，1]，结合已知可求m的取值范围．

解答 解：（I）∵函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx-$\frac{π}{6}}$）+b（ω＞0），且函数图象的对称中心到对称轴的最小距离为$\frac{π}{4}$，
∴$\frac{T}{4}$=$\frac{π}{4}$，可得：T=π，由$\frac{2π}{ω}$=π，可得：ω=2，
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}}$）+b，
∵当x∈[0，$\frac{π}{4}}$]时，2x-$\frac{π}{6}}$∈[-$\frac{π}{6}}$，$\frac{π}{3}$]，
∴由于y=sinx在[-$\frac{π}{6}}$，$\frac{π}{3}$]上单调递增，可得当2x-$\frac{π}{6}}$=$\frac{π}{3}$，即x=$\frac{π}{4}$时，函数f（x）取得最大值f（$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{3}$+b，
∴$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{3}$+b=1，解得b=-$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}}$）-$\frac{1}{2}$…6分
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位长度得到函数解析式为：g（x）=$\sqrt{3}$sin[2（x-$\frac{π}{12}$）-$\frac{π}{6}}$]-$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{1}{2}$，
∵当x∈[0，$\frac{π}{3}}$]时，可得：2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，g（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{1}{2}$∈[-2，1]，
∴g（x）-3∈[-5，-2]，g（x）+3∈[1，4]，
∵g（x）-3≤m≤g（x）+3在x∈[0，$\frac{π}{3}}$]上恒成立，
∴m∈[-5，4]．

点评 本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．