Question

2．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{2}}$），其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为π，若f（x）＞1对?x∈（-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}}$）恒成立，则φ的取值范围是（　　）

• A． $[{\frac{π}{12}，\frac{π}{6}}]$
• B． $[{\frac{π}{6}，\frac{π}{2}}]$
• C． $[{\frac{π}{12}，\frac{π}{3}}]$
• D． $[{\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$

Answer 1

分析 由题意可得函数的周期为$\frac{2π}{ω}$=π，求得ω=2．再根据当x∈（-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}}$）时，sin（2x+φ）＞0恒成立，2kπ＜2•（-$\frac{π}{12}$）+φ＜2•$\frac{π}{3}$+φ＜2kπ+π，由此求得φ的取值范围．

解答 解：函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{2}}$），其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为π，
故函数的周期为$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2，f（x）=2sin（2x+φ）+1．
若f（x）＞1对?x∈（-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}}$）恒成立，即当x∈（-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}}$）时，sin（2x+φ）＞0恒成立，
故有2kπ＜2•（-$\frac{π}{12}$）+φ＜2•$\frac{π}{3}$+φ＜2kπ+π，求得2kπ+$\frac{π}{6}$φ＜2kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
结合所给的选项，
故选：D．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性、值域，函数的恒成立问题，属于中档题．