Question

如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，E是PB的中点。

（Ⅰ）求证：平面平面PBC；

（Ⅱ）若二面角的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值。

Answer 1

   （Ⅱ）以C为原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，－1，0）。

设P（0，0，a）（a>0），则E（，，），          

，，，

   设直线PA与平面EAC所成角为，则，

  

【思路点拨】（Ⅰ）由已知可得,由勾股定理可证出,所以，再根据面面垂直的判定定理即可得出平面平面PBC；

（Ⅱ）建立适当的空间直角坐标系，用坐标表示点，进而求出所需向量的坐标，把线面角，二面角转化成对应向量的夹角，利用向量的夹角公式求夹角即可。