Question

11．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，等比数列{b_n}的各项均为正数，公比是q，且满足：a₁=3，b₁=1，b₂+S₂=12，S₂=b₂q．
（Ⅰ）求a_n与b_n；
（Ⅱ）设c_n=3b_n-λ•2${\;}^{\frac{{a}_{n}}{3}}$（λ∈R），若数列{c_n}是递增数列，求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知条件b₂+S₂=12，S₂=b₂q，列关于等差数列的第二项及等比数列的公比的二元方程组，求出等差数列的第二项及等比数列的公比，则a_n与b_n可求；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的a_n与b_n代入c_n=3b_n-λ•2${\;}^{\frac{{a}_{n}}{3}}$（λ∈R），整理后把c_n+1＞c_n转化为含有λ和n的表达式，分离参数后利用函数的单调性求函数的最小值，从而求出λ的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由S₂=a₁+a₂=3+a₂，b₂=b₁q=q，
且b₂+S₂=12，S₂=b₂q．
∴q+3+a₂=12，3+a₂=q²，
消去a₂得：q²+q-12=0，解得q=3或q=-4（舍），
∴a₂=q²-3=6，则公差d=a₂-a₁=6-3=3，
从而a_n=a₁+（n-1）d=3+3（n-1）=3n，b_n=3^n-1；
（Ⅱ）∵a_n=3n，b_n=3^n-1，
∴c_n=3b_n-λ•2${\;}^{\frac{{a}_{n}}{3}}$=3ⁿ-λ•2ⁿ．
∵c_n+1＞c_n对任意的n∈N^*恒成立，
即：3ⁿ⁺¹-λ•2ⁿ⁺¹＞3ⁿ-λ•2ⁿ恒成立，
整理得：λ•2ⁿ＜2•3ⁿ对任意的n∈N^*恒成立，
即：λ＜2•（$\frac{3}{2}$）ⁿ对任意的n∈N^*恒成立．
∵y=2•（$\frac{3}{2}$）ⁿ在区间[1，+∞）上单调递增，
∴y_min=3，
∴λ＜3．
∴λ的取值范围为（-∞，3）．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了利用分离变量法求参数的范围问题，借助于函数单调性求函数的最小值是解答此题的关键，此题是中档题．