Question

1．已知函数$f（x）=5+lnx-\frac{kx}{x+1}$（k∈R）．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若k∈N*，且当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0恒成立，求k的最大值．（$ln（3+2\sqrt{2}）≈1.76$）

Answer 1

分析 （I）f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{k（x+1）-kx}{（x+1）^{2}}$=$\frac{（x+1）^{2}-kx}{x（x+1）^{2}}$，（x＞0）．①k≤0时，f′（x）＞0，可得单调性．②k＞0时，f′（x）=$\frac{{x}^{2}+（2-k）x+1}{x（x+1）^{2}}$．△≤0时，解得0＜k≤4，f′（x）≥0，可得函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．△＞0，解得k＞4．由x²+（2-k）x+1=0，取x₁=$\frac{k-2-\sqrt{k（k-4）}}{2}$，x₂=$\frac{k-2+\sqrt{k（k-2）}}{2}$.0＜x₁＜x₂．f′（x）=$\frac{（x-{x}_{1}）（x-{x}_{2}）}{x（x+1）^{2}}$．即可得出单调性．
（II）由（I）可得：k≤4，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．而f（1）=5-$\frac{k}{2}$≥3，当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0恒成立，满足条件．k＞4时，函数f（x）在在（1，x₂）上单调递减，（x₂，+∞）上单调递增；1＜x₂．若f（1）=5-$\frac{k}{2}$≥0，解得k≤10．k＞10时舍去．4＜k≤10时，必须f（x₂）＞0，经过验证即可得出．

解答 解：（I）f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{k（x+1）-kx}{（x+1）^{2}}$=$\frac{（x+1）^{2}-kx}{x（x+1）^{2}}$，（x＞0）．
①k≤0时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
②k＞0时，f′（x）=$\frac{{x}^{2}+（2-k）x+1}{x（x+1）^{2}}$．
△=（2-k）²-4=k（k-4）≤0时，解得0＜k≤4，f′（x）≥0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
△=k（k-4）＞0，k＞0时，解得k＞4．由x²+（2-k）x+1=0，解得x=$\frac{（k-2）±\sqrt{k（k-4）}}{2}$，
取x₁=$\frac{k-2-\sqrt{k（k-4）}}{2}$，x₂=$\frac{k-2+\sqrt{k（k-4）}}{2}$.0＜x₁＜x₂．
∴f′（x）=$\frac{（x-{x}_{1}）（x-{x}_{2}）}{x（x+1）^{2}}$．令f′（x）＞0，解得x＞x₂，0＜x＜x₁，则函数f（x）在（0，x₁），（x₂，+∞）上单调递增；在（x₁，x₂）上单调递减．
综上可得：k≤4，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
k＞4时，函数f（x）在（0，x₁），（x₂，+∞）上单调递增；在（x₁，x₂）上单调递减，其中x₁=$\frac{k-2-\sqrt{k（k-4）}}{2}$，x₂=$\frac{k-2+\sqrt{k（k-4）}}{2}$，0＜x₁＜x₂．
（II）由（I）可得：k≤4，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．而f（1）=5-$\frac{k}{2}$≥3，∴当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0恒成立，满足条件．
k＞4时，函数f（x）在（0，x₁），（x₂，+∞）上单调递增；在（x₁，x₂）上单调递减，其中x₁=$\frac{k-2-\sqrt{k（k-4）}}{2}$，x₂=$\frac{k-2+\sqrt{k（k-4）}}{2}$，0＜x₁＜x₂．
由于x₁=$\frac{k-2-\sqrt{k（k-4）}}{2}$＜1＜x₂，若f（1）=5-$\frac{k}{2}$≥0，解得k≤10．
k＞10时舍去．
4＜k≤10时，必须f（x₂）＞0，
由${x}_{2}^{2}$+（2-k）x₂+1=0，可得kx₂=${x}_{2}^{2}$+2x₂+1，
∴f（x₂）=5+lnx₂-$\frac{k{x}_{2}}{{x}_{2}+1}$=4-x₂+lnx₂＞0，
k=10时，由${x}_{2}^{2}$-8x₂+1=0，x₂＞1，解得x₂=4+$\sqrt{15}$．
f（x₂）=4-（4+$\sqrt{15}$）+ln（4+$\sqrt{15}$）=ln（4+$\sqrt{15}$）-$\sqrt{15}$＜0，舍去．
同理可得：k=9不满足条件舍去．
k=8时，由${x}_{2}^{2}$-6x₂+1=0，x₂＞1，解得x₂=3+2$\sqrt{2}$．
f（x₂）=4-（3+2$\sqrt{2}$）+ln（3+2$\sqrt{2}$）≈1-2$\sqrt{2}$+1.76＜0，舍去．
k=7时，由${x}_{2}^{2}$-5x₂+1=0，x₂＞1，解得x₂=$\frac{5+\sqrt{21}}{2}$∈（4.75，4.8）．
f（x₂）=4-x₂+lnx₂＞0，
综上可得：当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0恒成立，k的最大值为7．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的零点、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．