题目内容

平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为60°，则DB1和C1A1所成角大小为
 
．
考点：异面直线及其所成的角
专题：空间角
分析：设
AB
=
a
，
AD
=
b
，
AA1
=
c
，则两两夹角为60°，且模均为2.|
DB1
|=
(
a
-
b
+
c
)2
=2
6
，|
C1A1
|=
(-
a
-
b
)2
=2
2
，
DB1
•
C1A1
=（
a
-
b
+
c
）•（
a
-
b
）=4，设DB1和C1A1所成角为θ，cosθ=|cos＜
DB1
，
C1A1
＞|=
|
DB1
•
C1A1
|
|
DB1
|•|
C1A1
|
，由此能求出DB1和C1A1所成角大小．
解答： 解：设
AB
=
a
，
AD
=
b
，
AA1
=
c
，则两两夹角为60°，且模均为2．
∵
DB1
=
a
-
b
+
c
，
C1A1
=-
a
-
b
，
∴|
DB1
|=
(
a
-
b
+
c
)2

=
4+4+4+2×2×2×
1
2
+2×2×2×
1
2
+2×2×2×
1
2

=2
6
，
|
C1A1
|=
(-
a
-
b
)2
=
a2+b2+2
a
•
b

=
2+2+2×2×2×
1
2
=2
2
，
DB1
•
C1A1
=（
a
-
b
+
c
）•（
a
-
b
）
=
a
2+
b
2-2
a
•
b
+
a
•
c
-
b
•
c

=4+4-4+2-2
=4，
设DB1和C1A1所成角为θ，
cosθ=|cos＜
DB1
，
C1A1
＞|=
|
DB1
•
C1A1
|
|
DB1
|•|
C1A1
|

=
4
2
6
×2
2
=
3
6
，
∴θ=arccos
3
6
．
故答案为：arccos
3
6
．
点评：本题考查的知识点是异面直线所成角的余弦值的计算，考查空间两点之间的距离运算，根据已知条件，构造向量，将空间两点之间的距离转化为向量模的运算，是解答本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n．
（1）设bn=
an
2n-1
，证明：数列{bn}是等差数列．
（2）求数列{an}的前n项和．
已知θ∈（0，π），sinθ+cosθ=
3
-1
2
，则tanθ的值为（　　）
A、-
3
或-
3
3
B、-
3
3
C、-
3
D、-
3
2
直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=AB=AA1，且异面直线AC1与A1B所成的角为60°，则∠CAB等于
 
．
正方体ABCD-A′B′C′D′中，异面直线BD与AD′所成的角的大小为
 
．
如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、P、Q分别是BC、C1D1、AD1、BD的中点．
（1）求证：PQ∥平面DCC1D1；
（2）求AC与EF所成的角的大小．
直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=CC1，M是A1B1的中点，则AC1与BM所成角的余弦值为
 
．
如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是平行四边形．
（1）证明：AC∥截面PQMN；
（2）若AC⊥BD，AP：PB=2：1，BD=2，AC=4时，求截面PQMN的面积．
设f（x）=
xax
ax-1
-
x
2
（a＞0且a≠1）
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）若f（x）＜0在定义域上恒成立，求a的取值范围．

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