Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+2ⁿ．
（1）设b_n=

an

2n-1

，证明：数列{b_n}是等差数列．
（2）求数列{a_n}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a_n+1=2a_n+2ⁿ，可得

an+1

2n

-

an

2n-1

=1，即b_n+1-b_n=1．即可证明；
（2）由（1）可得：b_n=1+（n-1）=n，an=n•2n-1，再利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： （1）证明：∵a_n+1=2a_n+2ⁿ，∴

an+1

2n

-

an

2n-1

=1，
∴b_n+1-b_n=1．
∴数列{b_n}是等差数列，首项为

a1

1

=1，公差为1．
（2）解：由（1）可得：b_n=1+（n-1）=n，
∴

an

2n-1

=n，
∴an=n•2n-1，
∴数列{a_n}的前n项和S_n=1+2×2+3×2²+…+n•2^n-1，
2S_n=2+2×2²+3×2³+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ，
∴-S_n=1+2+2²+…+2^n-1-n×2ⁿ=

2n-1

2-1

-n×2ⁿ=（1-n）×2ⁿ-1．
∴S_n=（n-1）×2ⁿ+1．

点评：本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．