Question

如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是平行四边形．
（1）证明：AC∥截面PQMN；
（2）若AC⊥BD，AP：PB=2：1，BD=2，AC=4时，求截面PQMN的面积．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）利用线面平行的判定和性质定理即可证明；
（2）证明截面PQMN是矩形，利用AP：PB=2：1，BD=2，AC=4，可得PN=

4

3

，PQ=

4

3

，即可求截面PQMN的面积．

解答： （1）证明：∵截面PQMN是平行四边形，∴PN∥QM，
∵PN?平面ACD，QM?平面ACD，
∴PN∥平面ACD．
∵平面ABC∩平面ACD=AC．
∴PN∥AC．
∵PN?平面PQMN，AC?平面PQMN，
∴AC∥截面PQMN；
（2）解：∵AC⊥BD，∴PN⊥MN，
∴截面PQMN是矩形，
∵AP：PB=2：1，BD=2，AC=4，
∴PN=

4

3

，PQ=

4

3

，
∴截面PQMN的面积为

4

3

×

4

3

=

16

9

．

点评：熟练掌握线面平行的判定和性质定理是解题的关键．