Question

定义在R上的奇函数f（x），f（2）=0，若任给x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁≠x₂，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0恒成立，则不等式x•f（x）＜0的解集为

 

．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：由题意得f（x）在定义域上是奇函数，则不等式x•f（x）＜0转化为f（x）＞f（-2），f（x）＜f（2），解出即可．

解答： 解：当x₁＜x₂，x₁，x₂∈（-∞，0），
∵

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0恒成立，∴f（x₁ ）＞f（x₂），
当x₁＞x₂，x₁，x₂∈（-∞，0），
∵

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0恒成立，∴f（x₁ ）＜f（x₂），
又f（x）在R上是奇函数，
∴f（x）在（-∞，0），和在（0，+∞）上递减，f（-2）=-f（2）=0，
对于不等式x•f（x）＜0，
当x＜0时，f（x）＞0，即f（x）＞f（-2），∴x＜-2，
当x＞0时，f（x）＜0，即f（x）＜f（2），∴x＞2，
∴不等式x•f（x）＜0的解集为：（-∞，-2）∪（2，+∞）．

点评：本题考查了函数的奇偶性问题，考查函数的单调性问题，本题属于中档题．