Question

已知函数f（x）=a^x的图象经过点(2，

1

4

)，其中a＞0且a≠1，
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若函数g(x)=x

4a

5

，解关于t的不等式g（2t-1）＜g（t+1）．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据指数函数过点，代入即可求a的值；
（Ⅱ）根据函数的奇偶性和单调性之间的关系解不等式即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=a^x的图象经过点(2，

1

4

)，
∴f（2）=a²=

1

4

，解得a=

1

2

．
（Ⅱ）∵g(x)=x

4a

5

为定义在R上的偶函数，在（-∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增，
∴不等式g（2t-1）＜g（t+1）等价为不等式g（|2t-1|）＜g（|t+1|）．
即|2t-1|＜|t+1|，
平方得3t²-6t＜0，
解得0＜t＜2．
即不等式的解集为（0，2）．

点评：本题主要考查指数函数的图象和性质，利用函数奇偶性和单调性的性质将函数进行等价转化是解决本题的关键．