Question

3．已知椭圆的离心率e=$\frac{1}{2}$，一条准线方程为x=4．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若F₁，F₂为其左右两个焦点，过F₁的直线交椭圆于A、B两点．
①若|AB|=2，求|AF₂|+|BF₂|的值；
②若∠F₁AF₂=30°，求△F₁AF₂的面积．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的离心率公式和准线方程，解方程可得a，c的值，由b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$，可得b的值，且椭圆的焦点在x轴，即可得到所求椭圆方程；
（2）运用椭圆的定义，可得△F₁AF₂的周长为4a，计算即可得到|AF₂|+|BF₂|的值；
②利用椭圆的定义，可求得|AF₁|+|AF₂|=2a=4，|F₁F₂|=2c=2，先由余弦定理求得|AF₁|•|AF₂|，再利用面积公式即可求得△F₁AF₂的面积S=$\frac{1}{2}$|AF₁|•|AF₂|sin∠F₁AF₂．

解答 解：（1）椭圆的离心率e=$\frac{1}{2}$，一条准线方程为x=4，
可设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{{a}^{2}}{c}$=4，解得a=2，c=1，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）①由椭圆的定义，可得|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|=2a=4，
若|AB|=2，则|AF₂|+|BF₂|=4a-|AF₁|-|BF₁|=4a-|AB|=8-2=6；
②∵a=2，c=1，b=$\sqrt{3}$，
又|AF₁|+|AF₂|=2a=4，|F₁F₂|=2c=2，∠F₁AF₂=30°，
在△F₁AF₂中，由余弦定理得：
|F₁F₂|²=|AF₁|²+|AF₂|²-2|AF₁|•|AF₂|cos∠F₁AF₂
=（|AF₁|+|AF₂|）²-（2+$\sqrt{3}$）|AF₁|•|AF₂|，
即4c²=4a²-（2+$\sqrt{3}$）|AF₁|•|AF₂|，
∴（2+$\sqrt{3}$）|AF₁|•|AF₂|=4b²=12，
∴|AF₁|•|AF₂|=12（2-$\sqrt{3}$），
∴△F₁AF₂的面积S=$\frac{1}{2}$|AF₁|•|AF₂|sin∠F₁AF₂=$\frac{1}{2}$×12（2-$\sqrt{3}$）×$\frac{1}{2}$=6-3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，着重考查椭圆的定义与a、b、c之间的关系式的应用，考查三角形的面积公式，考查转化思想与运算能力，属于中档题．