Question

8．已知区间[a，b]，定义区间长度d=|b-a|，设函数f（x）=sin（x-$\frac{π}{6}$），若函数y=f（$\frac{kx}{2}$）-f（$\frac{kx}{2}$+$\frac{3π}{2}$）（k＞0）在长度为d=$\frac{π}{7}$的任意区间[a，b]上都能取得最大值$\sqrt{2}$和最小值-$\sqrt{2}$，则正数k的最小值为（　　）

• A． 14
• B． 14π
• C． 28
• D． 28π

Answer 1

分析 先求出函数y=f（$\frac{kx}{2}$）-f（$\frac{kx}{2}$+$\frac{3π}{2}$），再根据它的周期小于或等于$\frac{π}{7}$，求得正整数k的最小值．

解答 解：∵函数y=f（$\frac{kx}{2}$）-f（$\frac{kx}{2}$+$\frac{3π}{2}$）=sin（$\frac{kx}{2}$-$\frac{π}{6}$）-sin（$\frac{kx}{2}$+$\frac{3π}{2}$-$\frac{π}{6}$）=sin（$\frac{kx}{2}$-$\frac{π}{6}$）+cos（$\frac{kx}{2}$-$\frac{π}{6}$）
=$\sqrt{2}$sin（$\frac{kx}{2}$-$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{kx}{2}$+$\frac{π}{12}$）（k＞0），
在长度为d=$\frac{π}{7}$的任意区间[a，b]上，改函数都能取得最大值$\sqrt{2}$和最小值-$\sqrt{2}$，
故该函数的周期小于或等于$\frac{π}{7}$，即$\frac{2π}{\frac{k}{2}}$≤$\frac{π}{7}$，求得k≥28，
故k的最小值为28，
故选：C．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A和B，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的周期性的应用，属于基础题．